㈠ 非线性最小二乘法简介
非线性最小二乘法是一种用于估计非线性静态模型参数的统计方法。其核心思想是以误差的平方和最小作为准则，来确定参数估计值。
在非线性系统中，我们用函数f(x，θ)来表示系统的输出y与输入x和参数θ之间的关系。这里的非线性指的是参数θ的非线性模型，不包括输入输出随时间的变化关系。在实际应用中，模型的形式f是已知的，我们通过N次实验得到一组数据 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn，yn)。
为了估计参数θ，我们选择误差平方和作为目标函数，即Q = Σ(yi - f(xi,θ))^2。我们的目标是找到一组参数θ，使得Q达到最小值。这就是非线性最小二乘法的基本思想。
非线性最小二乘法在实际应用中具有广泛的应用。例如，在生物科学领域，可以用来建立生长曲线模型，估计生物生长速率的参数。在经济领域，可以用来构建消费函数模型，估计消费者行为的参数。在工程领域，可以用来建立热传导模型，估计热传导系数的参数等等。
非线性最小二乘法的关键在于求解使得误差平方和最小的参数θ。这通常需要使用迭代算法，如梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。这些算法在求解非线性最小二乘问题时，能够高效地找到局部最小值，从而估计出最优参数。
总的来说，非线性最小二乘法提供了一种强大的工具，用于解决实际问题中的非线性参数估计问题。它在科学、工程、经济等多个领域都有广泛的应用，并且在理论和算法上不断得到改进和优化。