㈠ 非線性最小二乘法簡介
非線性最小二乘法是一種用於估計非線性靜態模型參數的統計方法。其核心思想是以誤差的平方和最小作為准則，來確定參數估計值。
在非線性系統中，我們用函數f(x，θ)來表示系統的輸出y與輸入x和參數θ之間的關系。這里的非線性指的是參數θ的非線性模型，不包括輸入輸出隨時間的變化關系。在實際應用中，模型的形式f是已知的，我們通過N次實驗得到一組數據 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn，yn)。
為了估計參數θ，我們選擇誤差平方和作為目標函數，即Q = Σ(yi - f(xi,θ))^2。我們的目標是找到一組參數θ，使得Q達到最小值。這就是非線性最小二乘法的基本思想。
非線性最小二乘法在實際應用中具有廣泛的應用。例如，在生物科學領域，可以用來建立生長曲線模型，估計生物生長速率的參數。在經濟領域，可以用來構建消費函數模型，估計消費者行為的參數。在工程領域，可以用來建立熱傳導模型，估計熱傳導系數的參數等等。
非線性最小二乘法的關鍵在於求解使得誤差平方和最小的參數θ。這通常需要使用迭代演算法，如梯度下降法、牛頓法、擬牛頓法等。這些演算法在求解非線性最小二乘問題時，能夠高效地找到局部最小值，從而估計出最優參數。
總的來說，非線性最小二乘法提供了一種強大的工具，用於解決實際問題中的非線性參數估計問題。它在科學、工程、經濟等多個領域都有廣泛的應用，並且在理論和演算法上不斷得到改進和優化。