⑴ 勾股定理16种证明方法
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .
【证法2】（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90�0�2,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90�0�2.
∴ ∠HEF = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ 四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90�0�2,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90�0�2.
又∵ ∠GHE = 90�0�2,
∴ ∠DHA = 90�0�2+ 90�0�2= 180�0�2.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .
【证法3】（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于 . 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90�0�2.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90�0�2,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90�0�2.
∴ ∠DEC = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于 .
又∵ ∠DAE = 90�0�2, ∠EBC = 90�0�2,
∴ AD‖BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90�0�2.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90�0�2.
即 ∠CBD= 90�0�2.
又∵ ∠BDE = 90�0�2，∠BCP = 90�0�2，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
∴ .
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90�0�2，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90�0�2，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90�0�2，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90�0�2.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90�0�2，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90�0�2，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于 ，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 = .
同理可证，矩形MLEB的面积 = .
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ，即 .
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90�0�2，
∠CAD = ∠BAC，
∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
即 .
同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 .
∴ ，即 .
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.
∵ ∠BAD = 90�0�2，∠PAC = 90�0�2，
∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，
AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一个矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
CA = b，AP= a，从而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90�0�2，∠DHF = 90�0�2，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90�0�2，
∴ DGFH是一个边长为a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
①
∵ = ，
，
∴ = . ②
把②代入①，得
= = .
∴ .
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90�0�2，
∴ ∠TBH = ∠ABE.
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90�0�2，
BT = BE = b，
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.
∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT―HT = b―a.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90�0�2，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90�0�2，
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90�0�2，
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .
过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90�0�2，可知 ∠ABE
= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌
RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90�0�2，∠BAE + ∠CAR = 90�0�2，∠AQM = ∠BAE，
∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90�0�2，QM = AR = a，
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .
∵ ， ， ，
又∵ ， ， ，
∴
=
= ，
即 .
【证法11】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90�0�2，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得
=
=
= ，
即 ，
∴ .
【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD‖CB，过点B作BD‖CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
，
∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
AC = BD = b，
∴ ，即 ，
∴ .
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,
即 ，
∴ .
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ = =
= = ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ∴ .
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.
假设 ，即假设 ，则由
= =
可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A，
∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴ 若BD：BC≠BC：AB，则
∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90�0�2，
∴ ∠ADC≠90�0�2，∠CDB≠90�0�2.
这与作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假设不能成立.
∴ .
【证法15】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.
在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，
则 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
∴ DM = EM―ED = ―a = b.
又∵ ∠CMD = 90�0�2，CM = a，
∠AED = 90�0�2， AE = b，
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180�0�2，
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90�0�2，
∴ ∠ADC = 90�0�2.
∴ 作AB‖DC，CB‖DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90�0�2，
∴ ∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90�0�2，BF = DE = a.
∴ 点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ ， ， ，
，
∴
=
=
=
∴ .
⑵ 勾股定理的论文资料哪个网站最全
当然是绿色网站——颜澳的
⑶ 勾股定理的证明方法
勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最着名的例子。
《数学传播》中关于量纲分析的一片论文中讲到的证明方法：
命题得证。
⑷ 什么是勾股定理
勾股定理勾股定理目录
勾股定理
最早的勾股定理
《周髀算经》简介
伽菲尔德证明勾股定理的故事
勾股定理部分习题
勾股定理的别名
证明
[编辑本段]勾股定理
勾股定理:
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
来源：
是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
[编辑本段]最早的勾股定理
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图
设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米
∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。
[编辑本段]《周髀算经》简介
青朱出入图
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学着作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如下:
解：在网格内，以两个直角边为边长的小三角形面积，等于以斜边为边长的的三角形面积。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
则说明斜边为5。
[编辑本段]勾股定理部分习题
第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？
练习：
1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积是多少? (2) 若a =5,c =13.则b是多少? .(3) 若c =61,b =11.则a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = ＿cm，BC = ＿cm.
2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 ＿cm.
3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 ＿cm.
4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = ＿cm.
5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm.
6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。
7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。
8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是
A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;
C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？
练习：
（×经典练习×）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三，股四，弦五”。
（1）观察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式。
（2）根据（1）的规律，若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾，请你直接用含n的代数式来表示它们的股和弦。
答案：
（1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2
（2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1）
三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。
2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
（A） 直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上答案都不对
已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.
三角形三个内角度数比为1:2:3,它的最大边为M,那么它的最小边是_____.
斜边上的高为M的等腰直角三角形的面积等于_____.
3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
美国总统的证明方法图各具特色的证明方法三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。
最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。
如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。
下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。
欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，
婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。
有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个着名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面，
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出论证
都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http://ett.edae.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨着《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/.gif
勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.。
勾股定理的16种验证方法（带图）：http:blog.cersp.com/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc
练习题：一个等腰三角形,三个内角的比为1：1：10，腰长为10cm。则这个三角形的面积为____
解：由题意得此三角形各角角度为15度 15的150度
设底边上的高为h 底边长为2t 。
易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10
解得h=5(√6-√2)/2
又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t
解得t=5(√6+√2)
故面积s=th=50</CN>
[编辑本段]勾股定理的别名
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的着名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
[编辑本段]证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
利用相似三角形的证法
利用相似三角形证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设ABC为一直角三角形, 直角于角C（看附图）. 从点C画上三角形的高，并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有A这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH
综合这两个方程式，我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
换句话说:a*a+b*b=c*c
[*]----为乘号
欧几里得的证法
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC²。 把这两个结果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = C²。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
其余见：http://www.e-sp.com/static/html/20090310/13821.html
勾股定理的美妙证明 [梁卷明网站：http://www.shxjjw.com/]
梁卷明
2009年3月24日晚，我参加了广西教研网的主题研讨活动之后，对勾股定理的证明作了进一步的研究，2009年3月28日下午我终于发现了一个美妙的证明：
勾股定理：如图，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.
证明：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合！
故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得：AC+BC=AB.证毕！
⑸ 勾股定理的几种证法
证法1
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a²+b²=c²
证法2
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上，
a²+b²=c²
证法3
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a²+b²=c²
⑹ 急求！！！谁能帮我找一下有关于勾股定理嘚验证方法 图文并茂 详细一些
Inongtupian 勾股定理的证明方法
山东 马永庆
1.（传说中毕达哥拉斯的证明）
图1 图2
如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .
2.（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. 四边形ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .
3.（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
图3 图4
4.（Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 则 ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 . ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .
∴ ∴ .
5.（马永庆证明方法1）
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5，该图是旋转90°得到的，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和，所以：
S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
图5 图6
6.（马永庆证明方法2）
对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到)。一方面，四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和，所以：S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCD
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
刻卜勒 (Kepler)曾说：“毕氏定理与黄金分割，是几何学的两大宝藏。”
在台湾的毕氏定理知识网上，详细地介绍了有关于毕氏定理（即勾股定理）的几种证明方法：
7.面积分割法
把原来的两个小正方形，切几刀剪再重新组合成另一个大正方形，疑？这不就是毕氏定理的证明？不需借助任何文字与符号，让我们来比比看，看谁切的又少块又漂亮？
5块 5块 5块 5块
6块 7块 7块 8块
8块 9块
8.干坤大挪移
拿把剪刀，切割两个小正方形，也可以巧妙地组成另一个大正方形！
毕氏定理透过旋转或平移的方式，不需代数的计算，证明一目了然，可谓漂亮的无言证明！
9.勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。它有四百多种证明！卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。
关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》（公元前3世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，有兴趣的读者不妨查阅一下。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化简后便可得： a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。
10. 印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形。但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图中给出的两个相似三角形，我们有
c/b=b/m和c/a=a/n
即
cm=b2和cn=a2
相加便得：
a 2 +b2=c(m+n)=c2
勾股的证明
中国的数学家刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。刘徽对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。
勾股趣事
汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的、
各具特色的证明方法
Inongtupian 勾股定理的证明方法
山东 马永庆
1.（传说中毕达哥拉斯的证明）
图1 图2
如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
， 整理得 .
2.（邹元治证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. 四边形ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 .
∴ . ∴ .
3.（赵爽证明）
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 .
∴ .
∴ .
图3 图4
4.（Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 则 ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 . ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 .
∴ ∴ .
5.（马永庆证明方法1）
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5，该图是旋转90°得到的，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和，所以：
S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
图5 图6
6.（马永庆证明方法2）
对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到)。一方面，四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和，所以：S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCD
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
刻卜勒 (Kepler)曾说：“毕氏定理与黄金分割，是几何学的两大宝藏。”
在台湾的毕氏定理知识网上，详细地介绍了有关于毕氏定理（即勾股定理）的几种证明方法：
7.面积分割法
把原来的两个小正方形，切几刀剪再重新组合成另一个大正方形，疑？这不就是毕氏定理的证明？不需借助任何文字与符号，让我们来比比看，看谁切的又少块又漂亮？
5块 5块 5块 5块
6块 7块 7块 8块
8块 9块
⑺ 勾股定理的所有证明方法共有多少个，是哪些
迄今为止，中外数学家发现的证明勾股定理的证明方法不下100种！ http://bbs.eol.cn/printpage.asp?BoardID=39&ID=171933 这个网站提供了7种，你可以去看看。 下面这篇文章是我从http://www.greenrain.com.cn/E/zrkx/200610/19338.html复制过来的，图片复制不了，请见谅！ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有着名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常着名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法 画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a2+b2=c2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法 直接在直角三角形三边上画正方形，如图。 容易看出， △ABA’ ≌△AA’’ C。 过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 即a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 如图， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。 【附录】 一、【《周髀算经》简介】 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学着作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。 二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。