⑴ 勾股定理16種證明方法
做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
【證法2】（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90�0�2,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90�0�2.
∴ ∠HEF = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的
正方形. 它的面積等於c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90�0�2,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90�0�2.
又∵ ∠GHE = 90�0�2,
∴ ∠DHA = 90�0�2+ 90�0�2= 180�0�2.
∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 .
∴ . ∴ .
【證法3】（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜
邊作四個全等的直角三角形，則每個直角
三角形的面積等於 . 把這四個直角三
角形拼成如圖所示形狀.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90�0�2，
∴ ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90�0�2.
∴ EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於 .
∴ .
∴ .
【證法4】（1876年美國總統Garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90�0�2,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90�0�2.
∴ ∠DEC = 180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，
它的面積等於 .
又∵ ∠DAE = 90�0�2, ∠EBC = 90�0�2,
∴ AD‖BC.
∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等於 .
∴ .
∴ .
【證法5】（梅文鼎證明）
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P.
∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180�0�2―90�0�2= 90�0�2.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90�0�2.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90�0�2.
即 ∠CBD= 90�0�2.
又∵ ∠BDE = 90�0�2，∠BCP = 90�0�2，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.
同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
,
∴ .
【證法6】（項明達證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.
過點Q作QP‖BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵ ∠BCA = 90�0�2，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90�0�2，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90�0�2，
∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90�0�2.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90�0�2，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90�0�2，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
從而將問題轉化為【證法4】（梅文鼎證明）.
【證法7】（歐幾里得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結
BF、CD. 過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於 ，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 = .
同理可證，矩形MLEB的面積 = .
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ ，即 .
【證法8】（利用相似三角形性質證明）
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90�0�2，
∠CAD = ∠BAC，
∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
即 .
同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 .
∴ ，即 .
【證法9】（楊作玫證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT於F，AF交DT於R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF於H.
∵ ∠BAD = 90�0�2，∠PAC = 90�0�2，
∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90�0�2，∠BCA = 90�0�2，
AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是一個矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
CA = b，AP= a，從而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90�0�2，∠DHF = 90�0�2，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90�0�2，
∴ DGFH是一個邊長為a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是一個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為
①
∵ = ，
，
∴ = . ②
把②代入①，得
= = .
∴ .
【證法10】（李銳證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.
∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90�0�2，
∴ ∠TBH = ∠ABE.
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90�0�2，
BT = BE = b，
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.
∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT―HT = b―a.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90�0�2，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90�0�2，
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90�0�2，
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .
過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90�0�2，可知 ∠ABE
= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌
RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90�0�2，∠BAE + ∠CAR = 90�0�2，∠AQM = ∠BAE，
∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90�0�2，QM = AR = a，
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .
∵ ， ， ，
又∵ ， ， ，
∴
=
= ，
即 .
【證法11】（利用切割線定理證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90�0�2，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得
=
=
= ，
即 ，
∴ .
【證法12】（利用多列米定理證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點A作AD‖CB，過點B作BD‖CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接於一個圓. 根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有
，
∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
AC = BD = b，
∴ ，即 ，
∴ .
【證法13】（作直角三角形的內切圓證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,
即 ，
∴ .
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ = =
= = ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ∴ .
【證法14】（利用反證法證明）
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.
假設 ，即假設 ，則由
= =
可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A，
∴ 若 AD：AC≠AC：AB，則
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴ 若BD：BC≠BC：AB，則
∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90�0�2，
∴ ∠ADC≠90�0�2，∠CDB≠90�0�2.
這與作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假設不能成立.
∴ .
【證法15】（陳傑證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在一條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.
在EH = b上截取ED = a，連結DA、DC，
則 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
∴ DM = EM―ED = ―a = b.
又∵ ∠CMD = 90�0�2，CM = a，
∠AED = 90�0�2， AE = b，
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180�0�2，
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90�0�2，
∴ ∠ADC = 90�0�2.
∴ 作AB‖DC，CB‖DA，則ABCD是一個邊長為c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90�0�2，
∴ ∠BAF=∠DAE.
連結FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90�0�2，BF = DE = a.
∴ 點B、F、G、H在一條直線上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ ， ， ，
，
∴
=
=
=
∴ .
⑵ 勾股定理的論文資料哪個網站最全
當然是綠色網站——顏澳的
⑶ 勾股定理的證明方法
勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。「勾三，股四，弦五」是勾股定理的一個最著名的例子。
《數學傳播》中關於量綱分析的一片論文中講到的證明方法：
命題得證。
⑷ 什麼是勾股定理
勾股定理勾股定理目錄
勾股定理
最早的勾股定理
《周髀算經》簡介
伽菲爾德證明勾股定理的故事
勾股定理部分習題
勾股定理的別名
證明
[編輯本段]勾股定理
勾股定理:
在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。
定理：
如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼a^2+b^2=c^2； 即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
如果三角形的三條邊a，b，c滿足a^2+b^2=c^2 ，那麼這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）
來源：
是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的一個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，作為一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短得直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
[編輯本段]最早的勾股定理
從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發現「勾股定理」的，這里只舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為「有一根長為5米的木樑（AB）豎直靠在牆上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離牆根（B）多遠？」他們解此題就是用了勾股定理，如圖
設AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米
∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股形。
[編輯本段]《周髀算經》簡介
青朱出入圖
《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。 《周髀算經》使用了相當繁復的分數演算法和開平方法。
[編輯本段]伽菲爾德證明勾股定理的故事
1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在干什麼？那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答道：「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不加思索地回答到：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方．」小男孩說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
如下:
解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小三角形面積，等於以斜邊為邊長的的三角形面積。
勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為「勾」，較長直角邊為「股」，斜邊稱為「弦」，所以把這個定理成為「勾股定理」。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c^2= a^2+b^2=9+16=25即c=5
則說明斜邊為5。
[編輯本段]勾股定理部分習題
第一章 勾股定理一、 勾股定理的內容，勾股定理是怎樣得到的，從定理的證明過程中你得到了什麼啟示？
練習：
1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3則以c為邊的正方形面積是多少? (2) 若a =5,c =13.則b是多少? .(3) 若c =61,b =11.則a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20則 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm則AB = ＿cm，BC = ＿cm.
2、直角三角形一條直角邊與斜邊分別為8cm和10cm.則斜邊上的高等於 ＿cm.
3、等腰三角形的周長是20cm,底邊上的高是6cm,則底邊的長為 ＿cm.
4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,則BC邊上的高AD = ＿cm.
5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB於D，BC= ,DB=2cm ,則BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm.
6、如圖，某人慾橫渡一條河，由於水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際遊了520m，求該河流的寬度為_______。
7、在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一隻猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一隻爬到樹頂D後直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高________米。
8、已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
9、小豐媽媽買了一部29英寸(74cm)電視機,下列對29英寸的說法中正確的是
A. 小豐認為指的是屏幕的長度; B. 小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度;
C. 小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長; D. 售貨員認為指的是屏幕對角線的長度
二、 你有幾種證明一個三角形是直角三角形的方法？
練習：
（×經典練習×）
據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連結得一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那麼弦就等於五，後人概括為「勾三，股四，弦五」。
（1）觀察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……發現這幾組勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過。計算0.5（9＋1）與0.5（25－1）、0.5（25＋1），並根據你發現的規律，分別寫出能表示7、24、25這一組數的股與弦的算式。
（2）根據（1）的規律，若用n(n為奇數且n≥3)來表示所有這些勾股數的勾，請你直接用含n的代數式來表示它們的股和弦。
答案：
（1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2
（2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1）
三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是( )
A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形.
1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,則∠A + ∠C＝ °。
2、如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是（ ）
（A） 直角三角形 (B)銳角三角形
(C)鈍角三角形 (D)以上答案都不對
已知三角形的三邊長分別是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n為正整數）則最大角等於_________度.
三角形三個內角度數比為1:2:3,它的最大邊為M,那麼它的最小邊是_____.
斜邊上的高為M的等腰直角三角形的面積等於_____.
3、已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四邊形ABCD的面積。
美國總統的證明方法圖各具特色的證明方法三角學里有一個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經》提到，商高說過"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。
最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這里B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經》中的「弦圖」。
下圖是H．珀里加爾（Perigal）在1873年給出的證明，它是一種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的，因為這種劃分方法，labitibn Qorra（826～901）已經知道。（如：右圖）下面的一種證法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年給出的。用的也是一種相加全等的證法。
如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法，據說是L•達•芬奇（da Vinci, 1452～1519）設計的，用的是相減全等的證明法。
歐幾里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命題47中，給出了勾股定理的一個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由於圖形很美，有人稱其為「修士的頭巾」，也有人稱其為「新娘的轎椅」，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙，和「外星人」去交流。其證明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家兼天文學家婆什迦羅（Bhaskara，活躍於1150年前後）對勾股定理給出一種奇妙的證明，也是一種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；一部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在一起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，
婆什迦羅還給出了下圖的一種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明，在十七世紀又由英國數學家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G•華盛頓曾經是一個著名的測量員。T•傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A．林肯是通過研究歐幾里得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是眾議院議員，五年後當選為美國總統）給出了勾股定理一個漂亮的證明，曾發表於《新英格蘭教育雜志》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD，交AB於L，連接BC，CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成一個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內部有一個內接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD，作DH⊥CF於H，則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
一方面，
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎完成一個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）。可以證明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF於H，則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出論證
都是用面積來進行驗證：一個大的面積等於幾個小面積的和。利用同一個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見http://ett.edae.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是數學上證明方法最多的定理之一——有四百多種證法！但有記載的第一個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的一種證法，屬於古希臘數學家歐幾里得。他的證法採用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》里。在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。於是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡後便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。 以下網址為趙爽的「勾股圓方圖」：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/.gif 以後的數學家大多繼承了這一風格並且有發展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了「出入相補法」即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的「青朱出入圖」：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/.gif
勾股定理應用非常廣泛。我國戰國時期另一部古籍《路史後記十二注》中就有這樣的記載：「禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。」這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。
勾股定理在我們生活中有很大范圍的運用.。
勾股定理的16種驗證方法（帶圖）：http:blog.cersp.com/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc
練習題：一個等腰三角形,三個內角的比為1：1：10，腰長為10cm。則這個三角形的面積為____
解：由題意得此三角形各角角度為15度 15的150度
設底邊上的高為h 底邊長為2t 。
易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10
解得h=5(√6-√2)/2
又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t
解得t=5(√6+√2)
故面積s=th=50</CN>
[編輯本段]勾股定理的別名
勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰「勾廣三，股修四，經隅五」，其意為，在直角三角形中「勾三，股四，弦五」．因此，勾股定理在我國又稱「商高定理」．在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即「以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得邪至日。
在法國和比利時，勾股定理又叫「驢橋定理」。還有的國家稱勾股定理為「平方定理」。
在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為「畢達哥拉斯」定理．為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做「百牛定理」．
[編輯本段]證明
這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。
利用相似三角形的證法
利用相似三角形證明
有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。
設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關系衍生出以下的比率關系：
因為BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH
綜合這兩個方程式，我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
換句話說:a*a+b*b=c*c
[*]----為乘號
歐幾里得的證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：
如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。
其證明如下：
設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC²。 把這兩個結果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB² + AC² = C²。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
其餘見：http://www.e-sp.com/static/html/20090310/13821.html
勾股定理的美妙證明 [梁卷明網站：http://www.shxjjw.com/]
梁卷明
2009年3月24日晚，我參加了廣西教研網的主題研討活動之後，對勾股定理的證明作了進一步的研究，2009年3月28日下午我終於發現了一個美妙的證明：
勾股定理：如圖，直角三角形ABC中：AC+BC=AB.
證明：如圖1,分別以AC、CB、BA為邊長作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，則易知⊿ABC≌⊿RBS,從而點Q必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使點B與點R重合,則梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；顯然⊿RSB≌⊿PTA, 如圖2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使點B與點A重合，則⊿RSB必與⊿PTA重合！
故有：正方形ACNM的面積+正方形CBSQ的面積=正方形BAPR的面積，即得：AC+BC=AB.證畢！
⑸ 勾股定理的幾種證法
證法1
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.
過點Q作QP‖BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵ ∠BCA = 90°，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a²+b²=c²
證法2
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再作一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直線上，
a²+b²=c²
證法3
作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結
BF、CD. 過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 =.
同理可證，矩形MLEB的面積 =.
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ 即a²+b²=c²
⑹ 急求！！！誰能幫我找一下有關於勾股定理嘚驗證方法 圖文並茂 詳細一些
Inongtupian 勾股定理的證明方法
山東 馬永慶
1.（傳說中畢達哥拉斯的證明）
圖1 圖2
如圖所示，作8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
2.（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖2所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等於c2. 四邊形ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 .
∴ . ∴ .
3.（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2. EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於 .
∴ .
∴ .
圖3 圖4
4.（Garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. 則 ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等於 . ABCD是一個直角梯形，它的面積等於 .
∴ ∴ .
5.（馬永慶證明方法1）
對任意的符合條件的直角三角形繞其銳角頂點旋轉90°得圖5，該圖是旋轉90°得到的，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等於Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面積之和，所以：
S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
圖5 圖6
6.（馬永慶證明方法2）
對任意的符合條件的兩個全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成圖6(此圖也可以看成Rt⊿BEA繞其直角頂點順時針旋轉90°，再向下平移得到)。一方面，四邊形ABCD的面積等於⊿ABC和Rt⊿ACD的面積之和，另一方面，四邊形ABCD的面積等於Rt⊿ABD和⊿BCD的面積之和，所以：S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCD
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
刻卜勒 (Kepler)曾說：「畢氏定理與黃金分割，是幾何學的兩大寶藏。」
在台灣的畢氏定理知識網上，詳細地介紹了有關於畢氏定理（即勾股定理）的幾種證明方法：
7.面積分割法
把原來的兩個小正方形，切幾刀剪再重新組合成另一個大正方形，疑？這不就是畢氏定理的證明？不需藉助任何文字與符號，讓我們來比比看，看誰切的又少塊又漂亮？
5塊 5塊 5塊 5塊
6塊 7塊 7塊 8塊
8塊 9塊
8.乾坤大挪移
拿把剪刀，切割兩個小正方形，也可以巧妙地組成另一個大正方形！
畢氏定理透過旋轉或平移的方式，不需代數的計算，證明一目瞭然，可謂漂亮的無言證明！
9.勾股定理是數學中最重要的定理之一。也許在數學中還找不到這樣一個定理，其證明方法之多能夠超過勾股定理。它有四百多種證明！盧米斯（Loomis）在他的《畢達哥拉斯定理》一書的第二版中，收集了這個定理的37O種證明並對它們進行了分類。
關於這個定理，雖然號稱畢達哥拉斯定理，但人們在遺留下來的古希臘手稿或譯文中並沒有找到畢達哥拉斯本人及其學派的有關證明，所以人們只能對他可能用的方法進行一些揣測。有據可查的最早證明見於歐幾里得的《幾何原本》（公元前3世紀）之中。歐幾里得用幾何的方法，作出了一個巧妙的證明，有興趣的讀者不妨查閱一下。
中國古代的數學家們不僅很早就發現並應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅「勾股圓方圖」，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡後便可得： a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。以後的數學家大多繼承了這一風格並且有所發展。
10. 印度的數學家兼天文學家婆什迦羅，也給出了與趙爽相同的幾何圖形。但是婆什迦羅在畫出這個圖形之後，並沒有進一步解釋和證明，只是說：「正好！」婆什迦羅還給出了這個定理的另外一個證明，即畫出斜邊上的高，由圖中給出的兩個相似三角形，我們有
c/b=b/m和c/a=a/n
即
cm=b2和cn=a2
相加便得：
a 2 +b2=c(m+n)=c2
勾股的證明
中國的數學家劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。劉徽對這組公式進行了嚴格的論證。這是迄今為止用於勾股數的最完美的表達形式之一。
勾股趣事
漢朝的數學家趙君卿，在注釋《周髀算經》時，附了一個圖來證明勾股定理。這個證明是四百多種勾股定理的說明中最簡單和最巧妙的。您能想出趙老先生是怎樣證明這個定理的嗎？
中國古代數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的「形數統一」的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，「形數統一」的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：「在中國的傳統數學中，數量關系與空間形式往往是形影不離地並肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的、
各具特色的證明方法
Inongtupian 勾股定理的證明方法
山東 馬永慶
1.（傳說中畢達哥拉斯的證明）
圖1 圖2
如圖所示，作8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
2.（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖2所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上. 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形. 它的面積等於c2. 四邊形ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 .
∴ . ∴ .
3.（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等於c2. EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等於 .
∴ .
∴ .
圖3 圖4
4.（Garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上. 則 ΔDEC是一個等腰直角三角形，它的面積等於 . ABCD是一個直角梯形，它的面積等於 .
∴ ∴ .
5.（馬永慶證明方法1）
對任意的符合條件的直角三角形繞其銳角頂點旋轉90°得圖5，該圖是旋轉90°得到的，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等於Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面積之和，所以：
S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
圖5 圖6
6.（馬永慶證明方法2）
對任意的符合條件的兩個全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成圖6(此圖也可以看成Rt⊿BEA繞其直角頂點順時針旋轉90°，再向下平移得到)。一方面，四邊形ABCD的面積等於⊿ABC和Rt⊿ACD的面積之和，另一方面，四邊形ABCD的面積等於Rt⊿ABD和⊿BCD的面積之和，所以：S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCD
即： .
整理：
∴a2+b2=c2.
刻卜勒 (Kepler)曾說：「畢氏定理與黃金分割，是幾何學的兩大寶藏。」
在台灣的畢氏定理知識網上，詳細地介紹了有關於畢氏定理（即勾股定理）的幾種證明方法：
7.面積分割法
把原來的兩個小正方形，切幾刀剪再重新組合成另一個大正方形，疑？這不就是畢氏定理的證明？不需藉助任何文字與符號，讓我們來比比看，看誰切的又少塊又漂亮？
5塊 5塊 5塊 5塊
6塊 7塊 7塊 8塊
8塊 9塊
⑺ 勾股定理的所有證明方法共有多少個，是哪些
迄今為止，中外數學家發現的證明勾股定理的證明方法不下100種！ http://bbs.eol.cn/printpage.asp?BoardID=39&ID=171933 這個網站提供了7種，你可以去看看。 下面這篇文章是我從http://www.greenrain.com.cn/E/zrkx/200610/19338.html復制過來的，圖片復制不了，請見諒！ 勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。 在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著名。 首先介紹勾股定理的兩個最為精彩的證明，據說分別來源於中國和希臘。 1．中國方法 畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是 a2+b2=c2。 這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。 2．希臘方法 直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。 容易看出， △ABA』 ≌△AA』』 C。 過C向A』』B』』引垂線，交AB於C』，交A』』B』』於C』』。 △ABA』與正方形ACDA』同底等高,前者面積為後者面積的一半，△AA』』C與矩形AA』』C』』C』同底等高，前者的面積也是後者的一半。由△ABA』≌△AA』』C，知正方形ACDA』的面積等於矩形AA』』C』』C』的面積。同理可得正方形BB』EC的面積等於矩形B』』BC』C』』的面積。 於是， S正方形AA』』B』』B=S正方形ACDA』+S正方形BB』EC， 即a2+b2=c2。 至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。 這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。 以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等於原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。 我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附於《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。採用的是割補法： 如圖，將圖中的四個直角三角形塗上硃色，把中間小正方形塗上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，「令出入相補，各從其類」，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即「勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也」。 趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。 西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。 下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。 如圖， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。 這一證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。 1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年後，伽菲爾德就任美國第二十任總統。後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的「總統」證法，這在數學史上被傳為佳話。 在學習了相似三角形以後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我們發現，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。 在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法： 設△ABC中，∠C=90°，由餘弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因為∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是餘弦定理的證明來自勾股定理。 人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。 歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。 從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。 勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。 若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。 如此等等。 【附錄】 一、【《周髀算經》簡介】 《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的。 《周髀算經》使用了相當繁復的分數演算法和開平方法。 二、【伽菲爾德證明勾股定理的故事】 1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在干什麼？那個小男孩頭也不抬地說：「請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？」伽菲爾德答道：「是5呀。」小男孩又問道：「如果兩條直角邊長分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？」伽菲爾德不假思索地回答道：「那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。」小男孩又說：「先生，你能說出其中的道理嗎？」伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。 於是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。